LEGKISEBB KÖZÖS
TÖBBSZÖRÖS

A legkisebb közös többszörös kiszámítása elsőre bonyolult matematikai fogalomnak tűnhet, pedig valójában nagyon logikus. Akkor használjuk, amikor több számhoz keresünk egy olyan közös többszöröst, amely mindegyikkel osztható, és ezek közül a lehető legkisebb. Ez különösen fontos törtek közös nevezőre hozásánál, oszthatósági feladatoknál és olyan példáknál, ahol ismétlődő események közös ritmusát kell megtalálni.

Ebben a cikkben megnézzük, mit jelent pontosan a legkisebb közös többszörös, hogyan lehet kiszámolni egyszerű példákon keresztül, és mire kell figyelni, hogy ne keverd össze más oszthatósági fogalmakkal.

Mi az a legkisebb közös többszörös?

A legkisebb közös többszörös két vagy több szám legkisebb olyan pozitív többszöröse, amely mindegyik adott számmal osztható maradék nélkül. Ez azt jelenti, hogy több szám többszöröseit vizsgáljuk, majd megkeressük közülük a legelső közös értéket.

Például nézzük a 4 és a 6 számot. A 4 többszörösei: 4, 8, 12, 16, 20, 24… A 6 többszörösei: 6, 12, 18, 24… Látható, hogy a közös többszörösök között szerepel a 12, 24, 36 és így tovább, de ezek közül a legkisebb a 12. Ezért a 4 és 6 legkisebb közös többszöröse 12.

A lényeg tehát nem az, hogy találjunk bármilyen közös többszöröst, hanem hogy megtaláljuk a legkisebbet. Ez lesz az a szám, amivel a legtakarékosabban, legegyszerűbben tudunk tovább dolgozni.

Extra segítségre van szükséged?

Próbáld ki a Jójegy kurzusait és maxold ki a tanulást!

Oktató
videók

Amikkel megérted a tananyagot

Témazáró
tesztek

Amikkel játszva gyakorolsz

Vizsga
szimuláció

Amivel felkészülsz
a valós vizsgára

Mikor van szükség a legkisebb közös többszörös kiszámítására?

A legkisebb közös többszörös egyik leggyakoribb felhasználása a törtek közös nevezőre hozása. Ha például különböző nevezőjű törteket szeretnél összeadni vagy kivonni, először közös nevezőt kell keresned. Ilyenkor általában a nevezők legkisebb közös többszöröse lesz a legjobb választás.

Például az 1/3 + 1/4 összeadásnál a nevezők 3 és 4. Ezek legkisebb közös többszöröse 12, ezért a törteket tizenkettedekre alakítjuk át. Így már azonos nevezővel tudunk számolni.

A legkisebb közös többszörös idővel kapcsolatos feladatokban is gyakran előjön. Ha például az egyik busz 12 percenként, a másik 18 percenként indul, akkor azt keressük, hány perc múlva indulnak újra egyszerre. Ehhez a 12 és 18 legkisebb közös többszörösét kell meghatározni.

Legkisebb közös többszörös egyszerű példákon keresztül

Kezdjünk egy könnyű példával. Mennyi az 5 és 10 legkisebb közös többszöröse? Az 5 többszörösei: 5, 10, 15, 20… A 10 többszörösei: 10, 20, 30… A legkisebb közös szám a 10, tehát az 5 és 10 legkisebb közös többszöröse 10.

Nézzünk egy másikat: mennyi a 8 és 12 legkisebb közös többszöröse? A 8 többszörösei: 8, 16, 24, 32… A 12 többszörösei: 12, 24, 36… A legkisebb közös többszörös tehát 24.

Egy harmadik példa: 6 és 15. A 6 többszörösei: 6, 12, 18, 24, 30… A 15 többszörösei: 15, 30, 45… Itt az első közös szám a 30, ezért a 6 és 15 legkisebb közös többszöröse 30.

Ezeknél a kisebb számoknál még jól működik az a módszer, hogy egyszerűen felsoroljuk a többszörösöket. Nagyobb számoknál viszont ez már lassú lehet, ezért érdemes más módszert is ismerni.

Legkisebb közös többszörös kiszámítása prímtényezős felbontással

Nagyobb számoknál a prímtényezős felbontás sokkal gyorsabb és biztosabb módszer. Ilyenkor a számokat prímszámok szorzatára bontjuk, majd minden prímtényezőből a legnagyobb szükséges hatványt választjuk.

Nézzük például a 12 és 18 legkisebb közös többszörösét.

12 = 2² · 3
18 = 2 · 3²

Most minden prímtényezőből a nagyobb kitevős változatot vesszük. A 2-ből a 2² kell, a 3-ból pedig a 3². Ezért:

2² · 3² = 4 · 9 = 36

Tehát a 12 és 18 legkisebb közös többszöröse 36.

Ez a módszer különösen akkor hasznos, ha a számok nagyobbak, vagy ha több szám legkisebb közös többszörösét kell meghatározni.

Legkisebb közös többszörös törtes feladatokban

A legkisebb közös többszörös egyik legfontosabb szerepe a törtes műveleteknél jelenik meg. Ha különböző nevezőjű törteket szeretnél összeadni, akkor először közös nevezőre kell hozni őket. Ehhez a nevezők legkisebb közös többszöröse adja a legkényelmesebb közös nevezőt.

Például:

2/5 + 1/10

A nevezők 5 és 10. Ezek legkisebb közös többszöröse 10, ezért az első törtet tizedekre alakítjuk:

2/5 = 4/10

Így már könnyű az összeadás:

4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2

Ha biztosan érted a legkisebb közös többszörös logikáját, akkor a törtek összeadása és kivonása is sokkal egyszerűbbé válik. Ezért ez a két témakör gyakran szorosan összekapcsolódik.

Gyakori hibák a legkisebb közös többszörös keresésénél

Az egyik leggyakoribb hiba, hogy valaki nem a legkisebb közös többszöröst választja, hanem csak egy nagyobb közös többszöröst. Például 4 és 6 esetén a 24 is közös többszörös, de nem a legkisebb, mert a 12 már korábban is közös többszörös.

A másik gyakori félreértés, hogy a diákok összekeverik a legkisebb közös többszöröst a legnagyobb közös osztóval. A legkisebb közös többszörös olyan számot keres, amely az adott számok többszöröse. A legnagyobb közös osztó viszont olyan szám, amely osztja az adott számokat. Ez két teljesen különböző irányú gondolkodás.

Törtes feladatoknál az is előfordul, hogy valaki megtalálja a jó közös nevezőt, de elfelejti a számlálót is ugyanúgy átalakítani. Ha egy tört nevezőjét megszorozzuk valamivel, akkor a számlálót is ugyanazzal kell szorozni, különben megváltozik a tört értéke.

Jójegy központi matematika felvételi előkészítő – biztos alapok és gyakorlás

A legkisebb közös többszörös tipikusan olyan alap témakör, amit nem érdemes pusztán szabályként megtanulni.

A Jójegy központi matek felvételi előkészítő éppen abban segít, hogy ne csak felismerd a szabályokat, hanem tudd is, mikor és hogyan kell őket alkalmazni. Az érthető, animált videós kurzusunkkal nemcsak a legkisebb közös többszörössel, hanem a központi matematika felvételi legfontosabb témaköreiből is felkészítünk.

De a megértés önmagában még nem elég, a gyakorlás legalább ilyen fontos. Épp ezért a rendszerben minden témakörhöz gyakorló feladatokat találsz, amelyeket bármikor újraindíthatsz. Így a törtes műveleteket is addig gyakorolhatod, amíg valóban rutinná nem válnak.

A felvételi szimulációval pedig kipróbálhatod, hogyan teljesítenél egy vizsgaszerű helyzetben, és láthatod, mely témák mennek már biztosan, illetve hol van még szükség gyakorlásra.

Próbáld ki a Jójegy központi matematika felvételi előkészítőjét!