TÖRTEK OSZTÁSA

A törtek osztása sok diáknak nehezebbnek tűnik, mint a törtek összeadása vagy szorzása. Ennek oka, hogy osztáskor nem közvetlenül számolunk, hanem először egy fontos átalakítást kell elvégezni: az osztást szorzássá alakítjuk a reciprok segítségével. Ha ezt az egyetlen szabályt megérted, a legtöbb törtes feladat gyorsan és biztosan megoldható.

Ebben a cikkben megismered a reciprok jelentését, megtanulod, hogyan kell törteket egész számmal és más törttel osztani, kitérünk a tizedes törtek osztására, valamint a leggyakoribb felvételi hibákra is.

Mi a törtek osztásának szabálya?

A törtek osztásának alapelve egyszerű:

Osztás helyett a második tört reciprokával kell szorozni.

Általánosan:

a/b ÷ c/d = a/b × d/c

Vagyis:

az osztás jelet szorzásra cseréljük,
a második törtet megfordítjuk,
elvégezzük a szorzást.

Nézzünk egy példát!

2/3 ÷ 5/7

Átalakítjuk:

2/3 × 7/5

Majd kiszorozzuk:

14/15

Ennyi az egész művelet.

Extra segítségre van szükséged?

Próbáld ki a Jójegy kurzusait és maxold ki a tanulást!

Oktató
videók

Amikkel megérted a tananyagot

Témazáró
tesztek

Amikkel játszva gyakorolsz

Vizsga
szimuláció

Amivel felkészülsz
a valós vizsgára

Reciprok jelentése – Miért kell megfordítani a törtet?

A reciprok jelentése nagyon egyszerű.

Egy szám reciprokát úgy kapjuk meg, hogy felcseréljük a számlálót és a nevezőt.

Például:

2/5 reciprok(j)a = 5/2
3/8 reciprok(j)a = 8/3
7 reciprok(j)a = 1/7

Fontos, hogy mindig csak az osztó reciprok(j)át képezzük, vagyis azt a törtet fordítjuk meg, amellyel osztunk.

Sokan elkövetik azt a hibát, hogy az első törtet fordítják meg. Ez helytelen.

Például:

3/4 ÷ 2/5

Helyesen:

3/4 × 5/2

Nem pedig:

4/3 × 2/5

Ha ezt a szabályt megjegyzed, a törtek osztásának legfontosabb részét már tudod.

Törtek osztása egész számmal

A törtek osztása egész számmal ugyanazt a szabályt követi.

Az egész számot először tört alakba írjuk:

5 = 5/1

Ezután képezzük a reciprokát.

Például:

3/4 ÷ 2

Átalakítjuk:

3/4 ÷ 2/1

Majd:

3/4 × 1/2

Eredmény:

3/8

Másik példa:

5/6 ÷ 3

Átalakítva:

5/6 × 1/3

Eredmény:

5/18

Egész szám osztása törttel

Az egész szám osztása törttel ugyanarra a szabályra épül, mint a törtek osztása. Első lépésként az egész számot tört alakba kell írni, majd az osztó reciprokával kell szorozni.

Például:

4 ÷ 2/3

Az egész számot törtként írjuk fel:

4/1 ÷ 2/3

Ezután az osztást szorzássá alakítjuk, és a második tört reciprokát vesszük:

4/1 × 3/2

A szorzás után:

12/2 = 6

Nézzünk egy másik példát!

5 ÷ 1/4

Átalakítva:

5/1 × 4/1

Eredmény:

Érdemes megjegyezni, hogy ha egy egész számot 1-nél kisebb törttel osztunk, az eredmény nagyobb lesz az eredeti számnál. Ennek az az oka, hogy azt vizsgáljuk, hány ilyen tört “fér el” az egész számban. Például az 5-ben húsz darab negyed található, ezért 5 ÷ 1/4 = 20. Ez az összefüggés segíthet ellenőrizni, hogy reális eredményt kaptunk-e.

Törtek osztása törttel

A törtek osztása törttel pontosan ugyanazon az elven működik.

Például:

4/5 ÷ 2/3

A második tört reciprokát vesszük:

4/5 × 3/2

Majd szorzunk:

12/10

Egyszerűsítve:

6/5

Vegyünk egy másik példát!

7/8 ÷ 7/16

Átalakítjuk:

7/8 × 16/7

Már szorzás előtt egyszerűsíthetünk:

7 és 7 kiesik,
16 és 8 egyszerűsíthető.

Így marad:

16/8 = 2

Ez jól mutatja, hogy osztásnál is érdemes figyelni az egyszerűsítés lehetőségére.

Egyszerűsítés osztás előtt és után

Az egyik leggyakoribb hiba, hogy valaki csak a végén próbál egyszerűsíteni.

Pedig sokszor már a reciprok felírása után is lehet.

Például:

6/15 ÷ 4/9

Átalakítjuk:

6/15 × 9/4

Most egyszerűsíthetünk:

6 és 4 osztható 2-vel,
9 és 15 osztható 3-mal.

Így marad:

3/5 × 3/2

Szorzás után:

9/10

Jóval egyszerűbb, mint nagy számokkal dolgozni.

Tizedes törtek osztása

A tizedes törtek osztása eltér a közönséges törtek osztásától.

Ilyenkor arra törekszünk, hogy az osztó egész szám legyen.

Például:

4,8 ÷ 0,6

Mindkét számot megszorozzuk 10-zel:

48 ÷ 6

Eredmény:

Másik példa:

1,25 ÷ 0,5

Mindkét számot megszorozzuk 10-zel:

12,5 ÷ 5

Majd:

2,5

Sok feladatban egyszerűbb lehet először közönséges törtté alakítani a tizedes törteket, majd a reciprok szabályával kiszámítani az eredményt.

Mikor nem végezhető el a törtek osztása?

A törtek osztásánál ugyanaz az alapvető szabály érvényes, mint minden más osztásnál:

Nullával nem lehet osztani.

Például:

3/5 ÷ 0

nem értelmezhető.

Ennek oka, hogy a 0 reciprok(j)a nem létezik, ezért a törtek osztásának szabálya sem alkalmazható.

Vizsgán mindig figyelj arra, hogy az osztó ne legyen nulla.

Tipikus felvételi feladatok és gyakori hibák

A központi felvételin a törtek osztása gyakran hosszabb műveletsor részeként jelenik meg.

A leggyakoribb hibák:

az első tört reciprokát képezik a második helyett,
elfelejtik az osztást szorzássá alakítani,
nem egyszerűsítenek,
rosszul szorozzák össze a számlálókat és nevezőket,
figyelmen kívül hagyják, hogy nullával nem lehet osztani.

Ha minden feladatnál ugyanazt a három lépést követed — reciprok, szorzás, egyszerűsítés —, jelentősen csökkentheted a hibák számát.

Jójegy központi matematika felvételi előkészítő – biztos alapok és gyakorlás

A törtek osztása tipikusan olyan alap témakör, amit nem érdemes pusztán szabályként megtanulni. Ha nincs meg mögötte a logika, könnyű elbizonytalanodni a reciprok képzésénél, az egyszerűsítésnél vagy a törtek egész számmal és más törttel való osztásánál. Pláne akkor, ha a művelet nem önálló feladatként, hanem egy összetettebb matematika felvételi példában jelenik meg.

A Jójegy központi matematika felvételi előkészítő éppen abban segít, hogy ne csak bemagold a szabályokat, hanem meg is értsd azok működését. Az érthető, animált videós kurzusunkkal nemcsak a törtek osztásából, hanem a központi matematika felvételi legfontosabb matematikai témaköreiből is felkészítünk.

De a megértés önmagában még nem elég, a gyakorlás legalább ilyen fontos. Épp ezért a rendszerben minden témakörhöz gyakorlófeladatokat találsz, amelyeket bármikor újraindíthatsz. Így a törtes műveleteket is addig gyakorolhatod, amíg valóban rutinná nem válnak.

A felvételi szimulációval pedig kipróbálhatod, hogyan teljesítenél egy vizsgaszerű helyzetben, és láthatod, mely témák mennek már biztosan, illetve hol van még szükség gyakorlásra.

Próbáld ki a Jójegy központi matematika felvételi előkészítőjét!

Extra segítségre van szükséged?

Próbáld ki a Jójegy kurzusait és maxold ki a tanulást!

Oktató
videók

Amikkel megérted a tananyagot

Témazáró
tesztek

Amikkel játszva gyakorolsz

Vizsga
szimuláció

Amivel felkészülsz
a valós vizsgára

Összefoglalás – hogyan oszd magabiztosan a törteket?

A törtek osztása elsőre bonyolultnak tűnhet, valójában azonban egyetlen fontos szabályra épül: az osztást a második tört reciprokával való szorzásra alakítjuk át. Ha ezt megérted, és mindig figyelsz az egyszerűsítésre, a törtek osztása gyorsan rutinná válik.

Érdemes sokféle feladatot gyakorolni, mert a felvételin gyakran nem önálló példaként, hanem hosszabb műveletsor részeként találkozhatsz vele. Ha biztosan alkalmazod a reciprok szabályát, a törtes feladatok jelentős része könnyen megoldható lesz.