Matematika tudástár
Az átlagszámítás gyakran előkerül a hétköznapokban és a matematika felvételi feladataiban is. A számítás alapja egyszerű, de az összetettebb példákban már nem mindig közvetlenül az átlagot kell meghatározni.
Ebben a cikkben bemutatjuk az átlag fogalmát és képletét, végigvesszük a számítás menetét, majd olyan feladatokat is megnézzük, amelyekben egy hiányzó adatot kell kiszámítani az ismert átlag segítségével.
Az átlag segítségével több különböző számértéket egyetlen jellemző értékkel írhatunk le. A hétköznapokban is rendszeresen találkozunk vele: beszélhetünk például egy osztály átlagos dolgozateredményéről, egy hónap átlaghőmérsékletéről vagy egy sportoló átlagos teljesítményéről.
Nézzünk egy egyszerű példát!
Anna három matematika dolgozatának eredménye:
70%, 80% és 90%.
Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy átlagosan milyen eredményt ért el, először összeadjuk a három értéket:
70 + 80 + 90 = 240
Ezután az összeget elosztjuk az adatok számával:
240 : 3 = 80
Anna dolgozatainak átlaga tehát 80%.
Fontos, hogy az átlag nem feltétlenül egyezik meg valamelyik eredeti adattal. Ha például három gyermek magassága 150 cm, 155 cm és 160 cm, akkor az átlag 155 cm. Más adatsoroknál azonban olyan átlagot is kaphatunk, amely egyetlen eredeti adatként sem szerepel.
Az átlagszámítás képlete egyszerű:
átlag = adatok összege ÷ adatok száma
Matematikailag:
átlag = (az összes adat összege) / (az adatok darabszáma)
Ha például öt számunk van:
6, 8, 10, 12, 14
akkor először összeadjuk őket:
6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50
Öt adatunk van, ezért:
50 : 5 = 10
Az öt szám átlaga tehát 10.
Az átlagszámításnál ezért két adat különösen fontos: mennyi az értékek összege, illetve hány adatból áll az adatsor. Ha ezt a két mennyiséget ismerjük, az átlag közvetlenül meghatározható.
Az átlagszámítás néhány egyszerű lépésből áll.
Először add össze az összes adatot. Ezután számold meg, hány adat szerepel a feladatban. Végül az adatok összegét oszd el az adatok számával.
Tegyük fel, hogy egy tanuló öt napon keresztül feljegyzi, hány percet töltött matematika gyakorlással:
30, 45, 25, 40 és 35 percet.
Az összeg:
30 + 45 + 25 + 40 + 35 = 175 perc
Az adatok száma:
5
Az átlag:
175 : 5 = 35 perc
A tanuló tehát naponta átlagosan 35 percet gyakorolt.
Érdemes az eredmény mértékegységére is figyelni. Ha az eredeti adatok percben szerepelnek, akkor az átlag is percben értendő. Ugyanez igaz például a kilogrammra, kilométerre vagy forintra is.
Az egyszerű feladatokban közvetlenül megkapjuk az összes szükséges adatot. Nézzünk néhány példát!
Bence négy gyakorló feladatsoron a következő pontszámokat érte el:
32, 38, 35 és 39 pont.
Először összeadjuk a pontokat:
32 + 38 + 35 + 39 = 144
Négy eredményünk van:
144 : 4 = 36
Bence átlagos eredménye tehát 36 pont.
Egy kirándulócsoport három nap alatt rendre 12 km-t, 15 km-t és 9 km-t tett meg.
A megtett távolság összesen:
12 + 15 + 9 = 36 km
A három nap átlaga:
36 : 3 = 12 km
A csoport naponta átlagosan 12 kilométert tett meg.
Egy játékos négy fordulóban rendre:
7, 8, 10 és 12 pontot
szerzett.
A pontszámok összege:
7 + 8 + 10 + 12 = 37
Az átlag:
37 : 4 = 9,25
A játékos átlagosan 9,25 pontot szerzett fordulónként.
Ez teljesen helyes eredmény annak ellenére, hogy egyetlen fordulóban sem szerzett 9,25 pontot. Az átlagnak tehát nem kell szerepelnie az eredeti adatok között.
Az átlagszámítás egyik érdekesebb feladattípusa, amikor az átlagot már ismerjük, viszont az adatsor egyik eleme hiányzik.
Ilyenkor érdemes az átlagszámítás képletét visszafelé használni.
Ha:
átlag = összeg ÷ adatok száma,
akkor:
összeg = átlag · adatok száma.
Négy dolgozat átlageredménye 75 pont. Az első három dolgozat eredménye:
68, 72 és 80 pont.
Hány pontot ért el a tanuló a negyedik dolgozaton?
Mivel négy dolgozat átlaga 75 pont, a négy eredmény összege:
75 · 4 = 300 pont
Az ismert eredmények összege:
68 + 72 + 80 = 220 pont
A hiányzó eredmény:
300 − 220 = 80 pont
A negyedik dolgozat eredménye tehát 80 pont volt.
Öt szám átlaga 12. Négy számot ismerünk:
8, 10, 14 és 16.
Az öt szám összege:
5 · 12 = 60
Az ismert számok összege:
8 + 10 + 14 + 16 = 48
A hiányzó szám:
60 − 48 = 12
A keresett szám tehát 12.
Az ilyen feladatoknál a legfontosabb felismerés, hogy az átlagból és az adatok számából először az összes adat együttes összegét tudjuk meghatározni.
A központi matematika felvételin az átlagszámítás nem feltétlenül úgy jelenik meg, hogy egyszerűen megadják néhány szám átlagát. Gyakran egy szöveges feladat részeként kell felismerned, hogy az átlag segítségével juthatsz el a megoldáshoz.
Előfordulhat például, hogy egy tanuló több dolgozatának átlagát kell kiszámítani, egy hiányzó eredményt kell meghatározni, vagy azt kell megvizsgálni, hogyan változik az átlag egy új adat hozzáadásával.
Nézzünk erre is egy példát!
Egy tanuló első három dolgozatának átlaga 4,0. A negyedik dolgozatára 5-öst kap. Mennyi lesz ezután a négy dolgozat átlaga?
Az első három jegy összege:
3 · 4 = 12
Ehhez hozzáadjuk az új jegyet:
12 + 5 = 17
Most már négy jegy van, ezért:
17 : 4 = 4,25
Az új átlag tehát 4,25.
Itt különösen fontos, hogy ne egyszerűen a régi átlagot és az új jegyet átlagoljuk:
(4 + 5) : 2 = 4,5
Ez hibás lenne, mert a 4-es átlag mögött három különböző jegy áll, míg az 5-ös csak egyetlen új adat.
Felvételi feladatoknál ezért mindig gondold végig, hány adat tartozik az adott átlaghoz.
Az átlagszámítás képlete könnyen megjegyezhető, ennek ellenére több tipikus hiba is előfordulhat.
Az összeget mindig az adatok számával kell elosztani. Ha például hat adatot adtak meg, akkor az összegüket hattal kell osztani.
Hosszabb adatsornál könnyű egy értéket véletlenül kihagyni. Érdemes ezért a számokat sorrendben összeadni, majd ellenőrizni, hogy mindegyiket felhasználtad-e.
Ha öt szám átlaga 20, az nem azt jelenti, hogy az öt szám összege 20.
Az összeg ebben az esetben:
5 · 20 = 100
Ez különösen fontos a hiányzó adatot kereső feladatokban.
Tegyük fel, hogy egy 10 fős csoport átlagpontszáma 20 pont, egy 20 fős csoporté pedig 30 pont.
Nem mondhatjuk egyszerűen, hogy:
(20 + 30) : 2 = 25
mert a két csoport nem ugyanannyi emberből áll. Először mindkét csoport összes pontszámát kell meghatározni, majd ezekből kiszámítani a közös átlagot.
Az átlag egyszerű eseteiben az eredménynek a legkisebb és a legnagyobb adat közé kell esnie.
Ha például a számok:
10, 15 és 20,
akkor az átlag nem lehet 8 vagy 25.
Ez egy gyors ellenőrzési lehetőség, amellyel sok számolási hibát észrevehetsz.
Az átlagszámítás tipikusan olyan témakör, amelynél az alapképlet megtanulása még nem feltétlenül jelenti azt, hogy minden feladat könnyen megy majd. Az egyszerű példákban gyorsan kiszámítható az átlag, egy összetettebb szöveges feladatban azonban már fel kell ismerned, milyen adatok állnak rendelkezésedre, mit kell kiszámítanod, és hogyan használhatod fel ehhez az ismert átlagot.
A Jójegy központi matematika felvételi előkészítő abban segít, hogy ne csak az átlagszámítás képletét tudd alkalmazni, hanem a mögötte lévő összefüggéseket is megértsd. Az érthető, animált videós kurzusban nemcsak az átlagszámítást, hanem a központi matematika felvételi legfontosabb anyagrészeit is végigvesszük.
A megértés mellett a gyakorlás is nélkülözhetetlen. A rendszerben minden témakörhöz újraindítható gyakorlófeladatokat találsz, így az átlagszámítást és a kapcsolódó szöveges feladatokat is addig gyakorolhatod, amíg magabiztosan nem mennek. A felvételi szimulációval pedig azt is felmérheted, hogyan teljesítenél egy teljes, vizsgaszerű feladatsorban.
Próbáld ki a Jójegy központi matematika felvételi előkészítőjét!
Az átlagszámítás alapja, hogy az adatokat összeadjuk, majd az így kapott összeget elosztjuk az adatok számával:
átlag = adatok összege ÷ adatok száma
Az egyszerű feladatok mellett azonban érdemes azt is megtanulni, hogyan használhatjuk az átlagot visszafelé. Ha ismerjük az átlagot és az adatok számát, meghatározhatjuk az adatok összegét, ebből pedig akár egy hiányzó értéket is kiszámíthatunk.
A felvételin ezért nemcsak a képlet ismerete számít. Fontos, hogy pontosan értelmezd a szöveget, felismerd, mely adatok tartoznak össze, és tudd, hogyan építheted fel belőlük lépésről lépésre a megoldást.
Csak matematika
19.990 Ft egyszeri díj
Magyar + matematika egy csomagban
39.980 Ft–25%
29.990 Ft egyszeri díj
Tárgyanként csak 14.995 Ft
Vásárlás után a felkészítő anyagát 2027. március 31-ig (a felvételi időszak végéig) használhatod. Ha egyedi igényed van, és ettől eltérő időszakra lenne szükséged, írj az ügyfélszolgálatunknak (info@jojegy.hu) – szívesen segítünk! Ha később a kombóra váltasz, csak a különbözetet fizeted.
Nem vagy biztos a kurzusban? Próbáld ki, és ha nem tetszik, 30 napig kérdés nélkül visszafizetjük a pénzed!
